Sifat Determinan Matriks

Sahabat Latis, pada pembelajaran sebelumnya, kita sudah belajar tentang rumus determinan matriks. Sehingga, kita dapat mengetahui penyelesaian determinan matriks dengan rumus yang telah ditetapkan.

Determinan berfungsi untuk memetakan matriks ke skalar. Atau secara gamblang, determinan matriks berkaitan dengan perkalian menggunakan rumus yang telah ditentukan.

Lalu, apakah semua matriks memiliki determinan? Jika tidak, kenapa demikian? Apa yang membuat kita harus mempelajari ini?

Determinan matriks hanya bisa dipecahkan dari matriks persegi di mana matriks tersebut memiliki baris dan kolom yang sama.

Untuk lebih jelasnya, mari kita simak ulasan berikut ini yuk...

Sifat Determinan Matriks

Sahabat Latis, sebelumnya kita sudah membahas tuntas tentang apa itu determinan dan rumus determinan matriks bukan? Sekarang saatnya kita belajar tentang sifat determinan matriks.

Determinan matriks hanya dapat dihitung untuk matriks yang memiliki jumlah kolom dan baris yang sama. Atau bisa disebut sebagai matriks kuadrat.

Determinan suatu matriks dilambangkan dengan det A, det(A) atau |A|.

Source: https://www.studypug.com/linear-algebra-help/properties-of-determinants

Lalu, apakah hanya itu saja sifat determinan matriks?

Tentu saja tidak. Terdapat beragam sifat matriks. Namun hanya beberapa poin yang akan kita pelajari.

Yuk cek ulasannya!

Sifat Umum Determinan Matriks

Beberapa sifat umum determinan matriks yang mesti kita pelajari di antaranya adalah sebagai berikut.

Jika sebuah Matriks identitas memiliki ordo m × m, maka det(I) sama dengan 1.
Jika Matriks XT adalah transpose Matriks X, maka det (XT) = det (X).
Jika Matriks X-1 adalah invers dari Matriks X, maka:

Source: https://www.vedantu.com/maths/properties-of-determinants

Jika dua Matriks persegi x dan y berukuran sama, maka det (XY) = det (X) det (Y). Jika kalian mencari determinan dari dua matriks persegi, maka hasil determinannya sama dengan hasil perkalian kedua matriks tersebut.
Jika Matriks X tetap berukuran a × a dan C adalah konstanta, maka det (CX) = Ca det (X)
Jika A, B, dan C adalah tiga Matriks semi definit positif yang berukuran sama, maka persamaan berikut berlaku dengan det (A+B) ≥ det (A) + det (B) untuk A,B, C ≥ 0 det (A+B+C) + det C ≥ det (A+B) + det (B+C).
Matriks nol selalu memiliki determinan matriks bernilai nol.
Dalam Matriks segitiga, determinannya sama dengan perkalian elemen-elemen diagonalnya.

Sifat Khusus Determinan Matriks

Selain memiliki sifat umum, matriks determinan juga memiliki sifat khusus untuk memudahkan kita memecahkan soal matriks.

Di antaranya adalah sifat refleksi, semua nol, proporsionalitas, tukar sisi, faktor, skalar, sum, segitiga, kofaktor, dan invarian.

Determinan Refleksi; menjelaskan di mana determinan tidak mengalami perubahan jika kolom diubah menjadi baris, begitu sebaliknya.
Determinan Proporsional; apabila setiap elemen pada sebuah matriks memiliki nilai yang sama, maka determinannya adalah nol.
Determinan Tukar Sisi; pertukaran dua kolom atau baris dari sebuah matriks juga akan mempengaruhi tandanya.
Determinan Skalar; apabila semua elemen kolom atau baris dari determinan dikalikan dengan konstanta yang bukan nol, maka determinan dikalikan dengan konstanta yang sama.
Determinan Segitiga; apabila setiap suku determinan di bawah atau di atas diagonal utama terdiri dari angka nol, maka hasil determinan adalah perkalian dari suku diagonal.

Source: https://www.vedantu.com/maths/properties-of-determinants

Lebih jauh tentang sifat determinan matriks . . .

Sahabat Latis, sejauh ini kita sudah belajar tentang sifat umum dan sifat khusus matriks.

Lalu, apa yang harus kita ketahui lebih lanjut tentang sifat determinan matriks?

Ternyata, ada beberapa hal yang sering dipertanyakan orang-orang tentang determinan matriks.

Apa saja pertanyaan tersebut?

Berikut adalah lima pertanyaan yang sering dipertanyakan orang-orang tentang determinan matriks.

Pertama,

Q: Apa kegunaan matriks?

A: Matriks digunakan untuk menemukan invers matriks, menyelesaikan persoalan persamaan linear, mengubah variabel dalam bentuk integral, dan melihat transformasi linier dalam mengubah luas dan volume.

Selain itu, dalam geometri, determinan matriks juga digunakan untuk mencari luas segitiga yang sudah diketahui titik sudutnya.

Kita juga dapat melihat bahwa determinan adalah fungsi di mana matriks persegi merupakan inputnya dan angka merupakan outputnya.

Kedua,

Q: Apakah determinan dapat bernilai negatif?

A: Umumnya determinan merupakan bilangan real dan bukanlah berbentuk matriks. Namun, determinan juga bisa bernilai negatif asal tidak berkaitan dengan nilai absolut.

Ketiga,

Q: Bagaimana jika determinannya bernilai 0?

A: Umumnya, A tidak dapat dibalik jika determinan matriks bujur sangkar n × n A adalah nol. Selain itu, apabila determinan suatu matriks bukan nol, sistem linier yang diwakilinya bebas linier. Namun, ketika determinan suatu matriks bernilai nol maka baris dan vektornya merupakan vektor-vektor yang bergantung secara linear.

Keempat,

Q: Apakah aturan Cramer selalu diterapkan dalam menyelesaikan matriks?

A: Aturan Cramer atau Cramer’s Rule merupakan rumus yang diaplikasikan dalam menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan determinan sebuah matriks. Aturan ini juga mempertimbangkan sistem persamaan linear dua variabel.

Kelima,

Q: Seperti apa penerapan matriks dalam kehidupan sehari-hari?

A: Matriks merupakan cabang ilmu matematika yang menangani berbagai masalah aritmatika di berbagai bidang. Seperti halnya elektrodinamika, mekanika, elektrodinamika, optik, dll. Ini banyak digunakan dalam bidang ilmiah.