Sahabat Latis, apa yang disebut dengan induksi matematika? Pada materi kali ini kita akan mempelajari tentang metode pembuktian sebuah pernyataan matematis berupa ketidaksamaan, barisan, dan keterbagian.
Di sini kita juga akan belajar untuk menyusun formula pada suatu barisan bilangan, penerapan prinsip induksi, dan pengujian pernyataan matematis terhadap barisan, keterbagian, dan ketidaksamaan.
.jpg "Induksi Matematika")
Induksi Matematika
Pada materi Induksi Matematika kali ini, Sahabat Latis akan belajar tentang pengertian induksi matematika, prinsip induksi matematika, dan langkah-langkah pembuktian induksi matematika.
A. Pengertian Induksi Matematika
Induksi matematika merupakan sebuah metode pembuktian deduktif. Metode tersebut digunakan untuk membuktikan pernyataan matematika terkait himpunan bilangan.
Apakah induksi matematika bisa digunakan untuk menemukan rumus? Induksi matematika hanya digunakan untuk mencari kebenaran rumus atau pernyataan.
Contoh:
Berikut adalah beberapa contoh bunyi soal induksi matematika.
- Buktikan bahwa jumlah n merupakan bilangan ganjil positif pertama yaitu n^2.
- Jumah n merupakan bilangan bulat positif pertama yaitu (n(n+1))/2. Buktikan!
- Buktikan bahwa setiap bilangan bulat positif n (n≥2) bisa dinyatakan sebagai perkalian dari beberapa bilangan prima.
- Buktikan bahwa semua 〖n≥1,n〗^3+2n merupakan kelipatan tiga.
- Banyaknya himpunan yang bisa dibentuk dari sebuah himpunan yang beranggotakan elemen n adalah 2n.
Dari uraian di atas, kita dapat mengambil kesimpulan bahwa induksi matematika dapat memudahkan Sahabat Latis untuk membuktikan bilangan bulat tanpa harus menguji semuanya.
B. Prinsip Induksi Matematika
Misal p (n) merupakan sifat yang digunakan untuk mendefinisikan bilangan asli (n) dan a adalah bilangan asli tertentu.
Jika kedua pernyataan di bawah ini benar:
- p(a) bernilai benar.
- Pada nilai seberang k≥a, p(k), dan p(k+1).
Sehingga, pernyataan untuk sebarang bilangan asli n≥a, p(n) adalah benar.
Lebih jauh lagi, terdapat dua prinsip induksi matematika yaitu prinsip induksi matematika sederhana dan prinsip induksi matematika kuat.
Prinsip Induksi Sederhana
Misalkan p(n) merupakan pernyataan perihal bilangan bulat positif. Di sini, kita akan membuktikan bahwa p(n) bernilai benar untuk seluruh bilangan bulat positif n.
Untuk membuktikan pernyataan di atas, mari kita tunjukkan bahwa:
- p(1) bernilai benar.
- Jika p(n) bernilai benar, maka p(n+1) untuk setiap n≥1.
Pada contoh di atas, langkah pertama disebut dengan basis induksi. Sedangkan langkah yang kedua dinamakan sebagai langkah induksi.
Perlu Sahabat Latis ketahui bahwa induksi matematika diibaratkan seperti efek domino. Untuk merobohkan semua batu domino, kita cukup mendorong batu yang pertama.
Contoh soal terkait:
Buktikan bahwa jumlah n bilangan ganjil positif pertama yaitu n^2.
Untuk n=1, jumlah satu buah bilangan ganjil positif pertama adalah 1=1^2.
Terbukti benar bahwa jumlah bilangan positif pertama adalah 1.
Jika p(n) bernilai benar, maka:
1+3+5+⋯+(2n-1)=n^2
1+3+5+⋯+(2n-1)+(2n+1)=〖(n+1)〗^2
1+3+5+⋯+(2n-1)+(2n+1)= (1+3+5+⋯+(2n-1))+(2n+1)= n^2+ (2n+1)
〖=n〗^2+ 2n+1
=〖(n+1)〗^2
Prinsip Induksi Matematika Kuat
Prinsip induksi sederhana hanya bisa digunakan untuk n≥1. Untuk sebarang n≥n_0, maka:
- p (n_0 ) bernilai benar
- Jika p(n) bernilai benar maka p(n+1) juga benar, untuk semua bilangan bulat n≥n_0.
Contoh soal terkait:
Bilangan bulat positif disebut prima apabila bilangan bulat tersebut habis dibagi dengan 1 dan dirinya sendiri. Kita akan membuktikan bahwa setiap bilangan bulat positif n (n≥2) dapat dinyatakan sebagai perkalian dari beberapa bilangan prima. Ini dapat dibuktikan dengan prinsip induksi kuat.
Basis induksi:
Jika n=2, maka 2 adalah bilangan prima yang hanya bisa dibagi dengan angka 1 dan dirinya sendiri.
Langkah induksi
Hipotesis:
Pernyataan bahwa bilangan 2,3,…,n dapat dinyatakan sebagai perkalian (lebih dari satu) bilangan prima adalah benar.
Buktikan bahwa n+1 juga dapat dinyatakan sebagai perkalian bilangan prima!
Jawab:
Ada dua kemungkinan nilai n+1.
- Jika n+1 merupakan bilangan prima, → jelas itu dapat dinyatakan sebagai perkalian satu atau lebih bilangan prima.
- Jika n+1 bukan bilangan prima, → terdapat bilangan bulat positif a yang membagi habis n+1 tanpa sisa. Persamaannya adalah ( n+1 )/(a=b) atau n+1=ab, di mana 2≤a≤b≤n.
Menurut hipotesis induksi, a dan b dapat dinyatakan sebagai perkalian satu atau lebih bilangan prima. Ini berarti bahwa n+1 jelas dapat dinyatakan sebagai perkalian bilangan prima karena n+1=ab
Karena basis induksi dan langkah induksi di atas terbukti benar, maka jelas bahwa setiap bilangan bulat positif n (n≥2) dapat dinyatakan sebagai perkalian dari satu atau lebih bilangan prima.
C. Langkah-langkah Pembuktian Induksi Matematika
Terdapat dua tahap yang dapat dilakukan untuk membuktikan induksi matematika. Di antaranya adalah langkah dasar (basic step) dan langkah indukti (inductive step).
Langkah tersebut bisa kita aplikasikan dalam menjawab soal berikut ini.
Namun sebelumnya, pahamilah beberapa hal berikut sebelum mengerjakan soal induksi matematika yang lebih kompleks.
Jika:
P (n)= U_1+ U_2+ U_3+ 〖...+ U〗_n=S_n
Maka:
⟹P (1)⟶ U_1= S_n
⟹P (k)= U_1+ U_2+ U_3+ 〖...+ U〗_k=S_k
⟹P (k+1)= U_1+ U_2+ U_3+ 〖...+ U〗_k 〖+ U〗_(k+1)=S_(k+1)
Contoh Soal
Agar lebih memahami bagaimana cara membuktikan induksi sigma, mari kita pelajari contoh soal berikut ini.
Diketahui:
Buktikan 1+3+5+7+⋯+(2n-1)= n^2
Jawab:
Terdapat dua langkah untuk mengerjakan soal ini. Pertama, Sahabat Latis harus mengetahui basis induksi untuk nilai n.
Sedangkan langkah keduanya adalah untuk mendapatkan nilai kebenaran n=k.
Langkah 1:
Substitusikan n=1, maka:
P(n)⟹2n-1=n^2
P(1)⟹2(1)-1=1^2
1=1
Terlihat bahwa ruas kiri dan ruas kanan memiliki nilai yang sama.
Langkah 2:
Langkah induksi untuk n=k bernilai benar yaitu:
1+3+5+7+⋯+(2k-1)= k^2
Mensubsitusikan nilai n=k+1 adalah sbb.
1+3+5+7+⋯+(2k-1)+(2(k+1)-1)= 〖(k+1)〗^2
Pembuktian:
1+3+5+7+⋯+(2k-1)+(2(k+1)-1)= 〖(k+1)〗^2
k^2+2k+1=〖(k+1)〗^2
Ruas kiri dan ruas kanan bernilai sama. Maka terbukti bahwa induksi matematikanya adalah benar.
Baca juga: bimbel-cpns.id
Gimana Sahabat Latis, udah mulai paham kan dengan materi Induksi Matematika?
Supaya kamu makin paham dengan materi lainnya, bisa jawab PR dan tugas di sekolah dengan mudah dan prestasi kamu meningkat tajam, kamu bisa coba ikutan les privat Latisprivat lho!
Gurunya berprestasi dan biayanya juga hemat. Bisa online dan tatap muka juga. Fleksibel kan? Untuk info lebih lanjut, kamu bisa hubungi Latisprivat di line chat 085810779967.
Sampai ketemu di kelas!
Referensi:
Pdfcoffee.com
Rinaldi Munir/IF2120 Matematika Diskrit
Komentar
Posting Komentar